공정 능력 지수, Cp와 Cpk를 예시로 계산하는 법

주차장의 한 칸은 폭이 정해져 있습니다. 작은 차는 칸 안에서 여유가 넉넉하고 큰 차는 빠듯하죠. 그런데 차 폭이 칸보다 한참 좁아도, 한쪽 선에 바짝 붙여 세우면 옆 차의 문이 닿습니다.

공정 능력 지수는 이 주차 문제를 숫자로 바꾼 것입니다. 규격이 허용하는 폭을 주차 칸으로, 공정이 흔들리는 폭을 차 폭으로 보고, 차가 칸 안에 얼마나 여유 있게 들어가는지와 가운데에 서 있는지를 함께 따지죠. 이 글에서는 Cp와 Cpk를 반도체 막 두께 예시로 직접 계산해 봅니다.

공정 능력 지수가 묻는 질문

관리도가 공정이 평소처럼 움직이는지를 본다면, 공정 능력(Process Capability)은 그 평소 모습이 고객의 규격을 만족할 만큼 좋은지를 봅니다. 공정이 아무리 안정되어 있어도 흔들림이 규격보다 넓으면 일정 비율의 불량은 피할 수 없죠.

그래서 공정 능력 지수는 두 폭을 비교합니다. 하나는 규격 상한(USL, Upper Specification Limit)과 규격 하한(LSL, Lower Specification Limit) 사이의 폭이고, 다른 하나는 공정 표준편차(σ)의 6배인 공정의 자연 폭이죠. 정규분포에서는 평균 ±3σ 안에 데이터의 약 99.73%가 들어가므로, 6σ를 공정이 실제로 차지하는 폭으로 봅니다.

Cp, 폭만 비교하는 지수

Cp는 규격 폭을 공정의 자연 폭으로 나눈 값입니다. 공정 평균이 어디에 있는지는 보지 않고, 흔들림의 크기만으로 잠재적인 능력을 나타내죠.

Cp가 1이면 공정의 자연 폭이 규격 폭과 딱 맞는다는 뜻이고, 1보다 작으면 공정이 가운데에 서 있어도 규격 밖으로 나가는 제품이 꽤 생깁니다. 1.33이면 규격 폭이 공정 폭보다 3분의 1쯤 넓어서, 주차 칸으로 치면 양옆에 여유가 조금 있는 셈이죠.

Cpk, 중심의 치우침까지 보는 지수

Cp에는 큰 약점이 있습니다. 공정 평균이 규격 한쪽으로 치우쳐도 값이 그대로라서, 차가 칸 한쪽 선에 붙어 있어도 여유 있다고 말해 버리죠. 그래서 실제 판단에는 평균의 위치까지 반영한 Cpk를 함께 봅니다.

같은 공정인데 Cp는 1.33, Cpk는 1.00입니다. 흔들림의 크기는 그대로인데 평균이 1.5 nm 올라가면서 가까운 쪽 규격선까지의 여유가 3σ밖에 남지 않은 것이죠.

개선 방향도 여기서 갈립니다. Cp와 Cpk의 차이가 크면 평균을 규격 중심으로 옮기는 조정이 먼저이고, 평균을 100 nm로 되돌리면 Cpk도 Cp와 같은 1.33이 됩니다. 반대로 Cp 자체가 낮다면 중심을 맞춰도 한계가 있어서 표준편차를 줄이는 개선이 필요한데, 예컨대 표준편차를 1.2 nm로 줄이면 Cp는 12 ÷ 7.2 ≈ 1.67이 되죠.

규격이 한쪽만 있을 때

누설 전류처럼 작을수록 좋은 항목은 상한만 있습니다. 이때는 Cp를 정의할 수 없고, 상한 쪽 여유인 (USL − μ) ÷ (3σ)만으로 능력을 판단하죠. 하한만 있는 항목은 반대로 (μ − LSL) ÷ (3σ)를 씁니다.

지수 값과 규격 이탈 비율

공정이 정규분포를 따르고 평균이 규격 중심에 있다면, 지수 값을 규격 밖으로 나가는 비율로 바꿀 수 있습니다. 지수가 1 커질 때마다 규격선이 평균에서 3σ씩 더 멀어진다고 생각하면 이해가 쉽죠.

흔히 양산 공정의 최소 기준으로 1.33을, 중요한 특성이나 신규 공정에는 1.67을 요구하는 경우가 많습니다. 다만 기준은 고객과 제품, 특성의 중요도에 따라 달라지므로 회사와 고객이 합의한 값을 따르죠.

6시그마 활동에서 자주 듣는 백만 개당 3.4개는 위 값과 다른데, 장기적으로 평균이 1.5σ 정도 움직인다는 가정을 넣어 계산한 값이기 때문입니다. 숫자를 비교할 때는 이런 가정이 들어갔는지부터 확인해야 하죠.

Cp·Cpk와 Pp·Ppk의 차이

공정 능력 지수에는 이름이 비슷한 짝이 있습니다. Cp와 Cpk는 보통 관리도의 부분군 안 흔들림으로 추정한 단기 표준편차를 쓰고, Pp와 Ppk는 전체 데이터에서 바로 구한 전체 표준편차를 쓰죠. 계산식의 모양은 같고 σ만 다릅니다.

단기 표준편차는 R̄ ÷ d₂처럼 부분군 안의 흔들림만 담기 때문에, 시간에 따라 평균이 오르내리는 변화는 빠집니다. 그래서 부분군 사이의 변화가 큰 공정일수록 Ppk가 Cpk보다 낮게 나오고, 두 값의 차이가 크다는 것 자체가 공정이 시간에 따라 흔들린다는 신호가 되죠.

정리하면 Cpk는 공정이 낼 수 있는 실력, Ppk는 실제로 보여 준 성적에 가깝습니다. 자동차 업계의 양산 승인 절차에서는 초기 공정 능력을 Ppk로 평가하는 경우가 많죠.

계산 전에 확인할 전제

공정 능력 지수는 몇 가지 전제 위에서만 의미가 있습니다. 흔히 Cpk만 높으면 그 공정은 믿을 수 있다고 여기지만, 전제가 깨진 데이터로 계산한 지수는 숫자만 그럴듯할 뿐이죠.

첫째, 공정이 통계적으로 안정된 상태여야 합니다. 관리도에 이상 신호가 계속 나오는 공정은 평균과 흔들림이 언제 바뀔지 모르므로, 지금 계산한 지수로 앞날을 예측할 수 없죠.

둘째, 데이터가 정규분포에 가까워야 합니다. 누설 전류처럼 한쪽으로 꼬리가 긴 분포에 정규분포 공식을 그대로 쓰면 이탈 비율을 크게 잘못 추정할 수 있어서, 로그 변환을 하거나 분포의 백분위수로 계산하는 방법을 씁니다.

셋째, 측정 시스템이 믿을 만하고 데이터가 충분해야 합니다. 측정기 자체의 흔들림은 σ에 더해져 지수를 실제보다 낮게 만들고, 표본이 적으면 같은 공정이라도 계산할 때마다 지수가 크게 달라지죠.

공정 능력 지수 비교 표

구분	Cp	Cpk	Pp	Ppk
평균 위치 반영	반영하지 않음	반영함	반영하지 않음	반영함
사용하는 표준편차	단기(부분군 안)	단기(부분군 안)	전체 데이터	전체 데이터
보여 주는 것	흔들림 크기로 본 잠재 능력	치우침까지 반영한 능력	장기 흔들림으로 본 잠재 성능	치우침까지 반영한 실제 성능
한쪽 규격일 때	정의할 수 없음	있는 쪽 규격으로 계산	정의할 수 없음	있는 쪽 규격으로 계산
주로 보는 상황	장비·공정 개선 효과 비교	양산 공정 능력 평가	장기 변동 확인	초기 승인, 실적 평가

핵심 정리

공정 능력 지수는 규격 폭과 공정의 자연 폭을 비교하는 지표입니다. Cp는 흔들림의 크기만, Cpk는 평균의 치우침까지 반영하므로, 두 값을 함께 보면 개선 방향이 중심 조정인지 흔들림 감소인지 알 수 있죠.

주차 칸이 넓어도 한쪽 선에 붙여 세우면 소용없듯, 공정도 폭과 위치를 함께 맞춰야 불량이 줄어듭니다. 지수를 볼 때는 값보다 먼저 공정이 안정되어 있는지, 분포가 정규에 가까운지, 어떤 표준편차로 계산했는지를 확인하는 습관을 들이면 좋습니다.

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