MOSFET 전류 식, 선형과 포화 영역 유도 과정

수도 밸브를 떠올려 봅니다. 밸브를 얼마나 돌리느냐가 물길의 폭을 정하고, 양쪽 수압 차이가 실제로 흐르는 물의 양을 정합니다.

MOSFET에서는 게이트 전압이 밸브처럼 물길의 폭을 열고, 드레인 전압이 수압차처럼 전자를 밀어냅니다. 오늘은 이 비유를 수식으로 바꿔, MOSFET 전류 식이 선형 영역과 포화 영역에서 어떻게 유도되는지 단계별로 따라가 봅니다.

수도 밸브로 여는 물길

게이트 전압이 문턱 전압(V_th, Threshold Voltage)을 넘으면, 산화막 아래에 전자가 모여 소스와 드레인을 잇는 얇은 길이 생깁니다. 이 길을 반전층(Inversion Layer) 또는 채널이라고 부릅니다.

게이트가 채널에 모으는 전하의 밀도는 게이트와 채널 사이의 산화막 커패시턴스(C_ox, Oxide Capacitance)에 비례합니다. 밸브를 더 돌릴수록 물길이 넓어지듯, 게이트 전압이 V_th를 넘어선 양만큼 채널이 두꺼워집니다.

다만 밸브 비유에는 한 가지 함정이 있습니다. 실제 채널은 드레인 쪽으로 갈수록 전압이 높아져, 채널 전체의 전하 밀도가 어디서나 똑같다고 가정하면 전류 식을 제대로 세울 수 없습니다.

MOSFET 전류 식을 세우는 출발점

그래서 채널을 소스에서 드레인까지 위치별로 나눠 봅니다. 이렇게 채널 방향의 전압 변화를 천천히 따라가는 가정을 점진 채널 근사(GCA, Gradual Channel Approximation)라고 합니다.

채널의 어떤 지점에서 그 지역의 전압을 V라 하면, 그 자리의 전하 밀도는 게이트 전압에서 V_th와 V를 뺀 값에 C_ox를 곱한 크기가 됩니다. 드레인에 가까워질수록 V가 커지므로 전하는 점점 얇아지죠.

전류는 이 전하가 전기장을 따라 흐르는 양입니다. 채널 폭 W, 전하 밀도, 그리고 이동도와 전기장을 곱하면 한 지점을 지나는 전류가 나오고, 이것이 MOSFET 전류 식의 뼈대가 됩니다.

선형 영역 MOSFET 전류 식 유도

한 지점의 관계식을 채널 길이 L 전체에 걸쳐 더하면(적분하면) 위치 의존성이 사라집니다. 전압을 소스의 0에서 드레인의 V_DS까지 쌓는 것이죠.

여기서 μ는 전자 이동도, W와 L은 채널의 폭과 길이입니다. 밸브를 살짝 연 상태에서 수압차를 키우면 물이 비례해 늘어나는 모습과 같습니다.

핀치오프와 포화 영역의 전류

V_DS를 계속 키우면 드레인 쪽 채널 전압이 (V_GS − V_th)에 가까워지고, 그 지점의 전하가 0에 수렴합니다. 이 현상을 핀치오프(Pinch-off)라고 합니다.

채널 끝이 좁아진 뒤에는 드레인 전압을 더 높여도 전류가 거의 늘지 않습니다. 선형 식에 V_DS 자리에 (V_GS − V_th)를 넣으면 포화 영역(Saturation Region)의 전류 식이 깔끔하게 정리됩니다.

선형 영역과 포화 영역 비교

구분	선형(트라이오드) 영역	포화 영역
조건	V_DS가 (V_GS − V_th)보다 작음	V_DS가 (V_GS − V_th) 이상
채널 모습	소스에서 드레인까지 이어짐	드레인 끝이 핀치오프
전류 지배 변수	V_DS에 거의 비례	(V_GS − V_th)의 제곱
수도 비유	밸브를 열고 수압을 높이는 구간	물길 끝이 좁아져 유량이 멈춘 구간

핵심 정리

MOSFET 전류 식은 채널을 위치별로 쪼개 전하와 드리프트 전류를 적분하는 데서 나옵니다. V_DS가 작으면 전류가 V_DS에 비례하는 선형 영역, V_DS가 커서 핀치오프가 생기면 (V_GS − V_th)의 제곱에 비례하는 포화 영역이 됩니다.

도입의 수도 밸브로 돌아오면, 게이트는 물길의 폭을, 드레인 전압은 수압차를 정합니다. 밸브를 연 정도가 전류의 상한을 쥐고 있다는 제곱 법칙의 직관을 기억하면, 복잡한 유도 과정도 한 흐름으로 꿰어집니다.

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